תרגיל החשבון הפשוט הזה מטריף את הרשת

במבט ראשון זה נראה כמו תרגיל שילד בבית ספר יסודי אמור לפתור בתוך כמה שניות.

אין כאן שורשים.

אין שברים.

אין משוואה עם נעלמים.

אפילו לא צריך מחשבון.

רק כמה פעולות חיבור פשוטות.

אבל אז מסתכלים שוב – ומבינים שמשהו ממש לא מסתדר.

החידה היא כזאת:

1 + 4 = 5
2 + 5 = 12
3 + 6 = 21
5 + 8 = ?

אז מה התשובה?

אם אמרתם מיד 13, מבחינה חשבונית רגילה אתם כמובן צודקים: 5 ועוד 8 הם 13.

אבל זו אינה חידת חשבון רגילה.

המטרה היא לנסות להבין איזה חוק מסתתר מאחורי שלוש השורות הראשונות, ואז להשתמש באותו חוק כדי לחשב את השורה האחרונה.

וזה בדיוק המקום שבו הדברים מתחילים להסתבך.

החידה הפשוטה הזו הצליחה לגרום לאנשים ברחבי הרשת להתווכח, לחשב מחדש, לפתוח מחשבונים ואפילו להתעקש שהפתרון של האדם השני “ברור לחלוטין שהוא שגוי”.

אלא שיש כאן טוויסט:

אין בהכרח תשובה אחת ויחידה.

למעשה, אפשר למצוא כמה חוקים שונים שמתאימים לכל הנתונים שקיבלנו – וכל אחד מהם מוביל לתוצאה אחרת. הכתבה המקורית מציגה חמש דרכים שונות לפתור את אותה חידה, עם חמש תשובות אפשריות.

אז לפני שאתם ממשיכים לקרוא, נסו לפתור אותה בעצמכם.

אל תגללו עדיין לפתרונות.

קחו רגע והסתכלו שוב:

1 + 4 = 5
2 + 5 = 12
3 + 6 = 21
5 + 8 = ?

יש לכם תשובה?

מעולה.

עכשיו בואו נראה אם היא אחת מהאפשרויות הבאות.

הפתרון הראשון – וזה כנראה החוק שרוב האנשים מזהים

נתחיל מהדרך האינטואיטיבית ביותר.

בשורה הראשונה יש לנו:

1 + 4 = 5

עד כאן הכול רגיל.

אבל בשורה השנייה כתוב:

2 + 5 = 12

ברור שחיבור רגיל לא יכול להסביר את התוצאה, משום ש 2 ועוד 5 שווה 7.

אז צריך לחפש פעולה נוספת.

אחת הדרכים הפשוטות היא לקחת את המספר הראשון, להכפיל אותו במספר השני ואז להוסיף שוב את המספר הראשון.

כלומר:

A + A × B

בואו נבדוק.

בשורה הראשונה:

1 + (1 × 4) =
1 + 4 =
5

עובד.

בשורה השנייה:

2 + (2 × 5) =
2 + 10 =
12

גם עובד.

בשורה השלישית:

3 + (3 × 6) =
3 + 18 =
21

שוב עובד.

לכן אם ממשיכים בדיוק באותו חוק:

5 + (5 × 8) =
5 + 40 =
45

ולכן התשובה הראשונה היא:

45

זו אחת התשובות הבולטות לחידה וגם הראשונה שמוצגת בכתבה המקורית.

אם קיבלתם 45 – אתם בחברה טובה.

אבל אל תמהרו לחגוג.

כי עכשיו מגיע פתרון אחר, שגם הוא מתאים באופן מושלם לכל שלוש השורות הראשונות.

הפתרון השני – משתמשים בתוצאה הקודמת

הסתכלו שוב:

1 + 4 = 5
2 + 5 = 12
3 + 6 = 21

במקום לבצע כפל, אפשר לבנות חוק אחר לגמרי.

מתחילים בשורה הראשונה באופן רגיל:

1 + 4 = 5

עכשיו בשורה השנייה לוקחים את שני המספרים ומוסיפים גם את התוצאה שקיבלנו בשורה הקודמת:

2 + 5 + 5 = 12

עובד.

ממשיכים לשורה הבאה.

התוצאה הקודמת הייתה 12:

3 + 6 + 12 = 21

גם זה עובד.

אז מה עושים עם השורה האחרונה?

התוצאה האחרונה שקיבלנו הייתה 21.

לכן:

5 + 8 + 21 = 34

והנה קיבלנו תשובה אחרת לחלוטין:

34

גם החוק הזה מתאים בדיוק לכל המידע שניתן בחידה.

וזה בדיוק הרגע שבו אנשים מתחילים להתווכח.

אחד אומר: “ברור שזה 45!”

השני אומר: “מה פתאום? ברור שזה 34!”

והדבר המצחיק הוא ששניהם יכולים להציג חוק עקבי שתומך בתשובה שלהם.

רגע, איך יכולות להיות שתי תשובות נכונות?

כי זו למעשה לא משוואה מתמטית רגילה.

זו חידת דפוסים.

כאשר נותנים לנו רק כמה דוגמאות ולא אומרים במפורש מה החוק שמייצר אותן, אנחנו צריכים לנחש את החוק.

והבעיה היא שלעתים אפשר ליצור יותר מחוק אחד שמתאים לאותם נתונים.

חשבו על סדרה פשוטה:

1, 2, 3…

מה המספר הבא?

כמעט כולם יגידו 4.

וזה ההיגיון הסביר ביותר.

אבל אפשר לבנות חוק מורכב הרבה יותר שבו המספר הבא יהיה 17, 100 או כמעט כל מספר אחר.

כל עוד לא הוגדר החוק מראש, מספר קטן של דוגמאות לא תמיד מספיק כדי לקבוע תשובה יחידה.

וזה בדיוק מה שקורה בחידה הזאת.

למעשה, הכתבה מציגה עוד שלוש דרכים להגיע לתוצאות אחרות לגמרי.

הפתרון השלישי – עכשיו זה כבר מתחיל להיות מוזר

הפתרון השלישי שמוצג בכתבה כמעט אינו משתמש בכלל במספרים שמופיעים בצד השמאלי של המשוואה באותה דרך שאנחנו מצפים.

מתחילים שוב ב־5.

לאחר מכן מוסיפים בכל שלב מספר אי זוגי שגדל ב 2, יחד עם התוצאה הקודמת.

כך מתקבל רצף שמאפשר להגיע:

5

אחר כך 12

אחר כך 21

ובשלב הבא:

32

כלומר, לפי החוק השלישי:

5 + 8 = 32

כן, 32.

אם עכשיו אתם מסתכלים על המסך וחושבים שמישהו החליט להתעלל במתמטיקה – אתם כנראה לא לבד.

אבל גם זה ממחיש את הבעיה המרכזית של החידה.

אם החוק אינו מוגדר, אפשר למצוא חוק מתמטי שמייצר את התוצאות הנתונות, גם אם הוא הרבה פחות טבעי או אינטואיטיבי מהפתרונות הראשונים. הפתרון הזה מופיע כאפשרות השלישית ברשימה המקורית.

פתרון מספר ארבע – עכשיו נכנסים לבסיסי מספרים

מכאן החידה עוברת לרמה שרובנו כנראה לא ציפינו לה כאשר ראינו “1+4”.

הפתרון הרביעי משתמש במערכות ספירה בבסיסים שונים.

אנחנו רגילים לעבוד בבסיס 10.

יש לנו את הספרות 0 עד 9, ולאחר 9 מגיע 10.

אבל אפשר לייצג מספרים גם בבסיסים אחרים.

לדוגמה, במחשבים משתמשים הרבה בבסיס בינארי – בסיס 2 – שבו קיימות רק הספרות 0 ו־1.

בפתרון הרביעי משנים את בסיס המספרים בכל שורה.

לפי השיטה שמופיעה בכתבה, 2 ועוד 5 הם 7 בבסיס עשר, אבל כאשר מייצגים את 7 בבסיס 5 מתקבל 12.

באופן דומה, 3 ועוד 6 הם 9, ו־9 בבסיס 4 מיוצג כ־21.

ואז מגיעים ל־5 ועוד 8.

בחיבור רגיל:

5 + 8 = 13.

אבל אם מייצגים את 13 בבסיס 3:

13 בבסיס עשר הוא:

1×9 + 1×3 + 1×1

ולכן הייצוג הוא:

111

כן.

פתאום 5 + 8 יכול להיות גם 111.

לא משום ש־5 ועוד 8 באמת שווה מאה ואחת עשרה, אלא משום שמדובר בייצוג של המספר 13 במערכת ספירה אחרת.

זהו הפתרון הרביעי שמופיע במקור.

חשבתם ש־111 היה מוזר? חכו לפתרון החמישי

הפתרון האחרון לוקח את רעיון בסיסי המספרים צעד נוסף קדימה.

הפעם מתייחסים גם לשורה שלא הופיעה בחידה המקורית:

4 + 7.

וממשיכים להוריד את בסיס הספירה בכל שלב.

בסוף מגיעים שוב ל:

5 + 8 = 13.

אבל הפעם מייצגים את 13 בבסיס 2 – כלומר, בבינארי.

הייצוג הבינארי של 13 הוא:

8 + 4 + 1

כלומר:

1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1

ולכן:

1101

כן, עכשיו יש לנו תשובה נוספת:

1101.

ולמי שרק רצה לפתור תרגיל קטן בזמן הקפה של הבוקר – אנחנו מתנצלים.

אז מה התשובה “האמיתית”?

אם מדובר בחשבון רגיל בלבד:

5 + 8 = 13.

אין כאן שום ויכוח.

אבל אם מדובר בחידת דפוסים, השאלה האמיתית אינה “כמה זה 5 ועוד 8?”, אלא:

“איזה חוק השתמשו בו כדי לייצר את השורות הקודמות?”

ומכיוון שהחוק לא נאמר לנו, לא ניתן להסיק באופן חד־משמעי איזו תשובה התכוון מחבר החידה לקבל.

מבין האפשרויות, 45 ו־34 הן כנראה שתי התשובות שהכי קל לזהות באופן טבעי.

45 מתקבלת כאשר מפעילים על כל שורה חוק עצמאי וקבוע:

A + A×B

34 מתקבלת כאשר כל שורה תלויה בתוצאה של השורה הקודמת:

A + B + התוצאה הקודמת

שתי השיטות פשוטות יחסית.

שתיהן עקביות.

ושתיהן מסבירות את הנתונים.

לכן הוויכוח ברשת לא באמת מוכיח שמישהו “גרוע במתמטיקה”.

הוא בעיקר מראה שאנשים שונים מחפשים דפוסים בדרכים שונות.

ויש כאן שיעור קטן ומפתיע על המוח שלנו

אולי זו הסיבה שחידות כאלה כל כך ממכרות.

ברגע שאנחנו רואים סדרה של מספרים, המוח שלנו מתחיל אוטומטית לחפש סדר.

אנחנו רוצים להבין את החוק.

רוצים למצוא משהו שחוזר על עצמו.

ואז, ברגע שמצאנו דפוס שעובד, אנחנו נוטים להרגיש:

“זהו! פתרתי!”

הבעיה היא שאנחנו לא תמיד בודקים האם קיים גם דפוס אחר שעובד באותה מידה.

וזה לא קורה רק בחידות.

אנחנו עושים משהו דומה גם בחיי היום־יום.

אנחנו רואים כמה אירועים, מזהים ביניהם קשר ובונים לעצמנו הסבר.

לפעמים אנחנו צודקים.

ולפעמים פשוט מצאנו את ההסבר הראשון שהתאים לנתונים.

החידה הזאת היא תזכורת קטנה ומשעשעת לכך שפתרון אפשרי אינו תמיד הפתרון היחיד.

עכשיו תנו אותה למישהו בלי לספר לו שיש כמה תשובות

זה אולי החלק הכי כיפי.

שלחו לחבר או לבן משפחה רק את זה:

1 + 4 = 5
2 + 5 = 12
3 + 6 = 21
5 + 8 = ?

ואל תספרו לו שום דבר נוסף.

אל תגידו שיש כמה פתרונות.

אל תתנו רמז.

פשוט בקשו תשובה.

אם הוא אומר 45, הוא כנראה זיהה את חוק הכפל.

אם הוא אומר 34, הוא השתמש בתוצאה הקודמת.

אם הוא אומר 13, הוא מסרב לשחק את המשחק ומעדיף חשבון רגיל – וקשה להאשים אותו.

ואם הוא אומר 1101 בתוך שלוש שניות?

אולי כדאי שתבדקו אם אתם מדברים עם מחשב.

אז מה אתם קיבלתם בפעם הראשונה שהסתכלתם על החידה?

13, 45, 34, 32, 111 או 1101?

והשאלה החשובה אפילו יותר:

האם אתם עדיין בטוחים שהתשובה שלכם היא היחידה הנכונה?

שתפו את החידה עם חברים ובני משפחה בלי לגלות להם את הפתרונות. מעניין לראות כמה אנשים יגיעו לאותה תשובה – וכמה ויכוחים יכולה ליצור שורה אחת שנראית כמו תרגיל חשבון של בית ספר יסודי.